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《概率论基础》笔记——概率与频率

来源: passnju.com   作者:聚英南大考研网  浏览:962  发布时间:2015/8/17

 

  在试验2中,我们已经知道它是一个随机试验,并且样本空间则Ω={ω1、ω2},其中ω1={取得白球},ω2={取得红球}是基本事件。虽然在一次试验中不能肯定是ω1或ω2发生,但是我们可以问在一次试验中某个事件(比如ω1)发生的可能性是多大?由对称性,很自然地可以推定在一次试验中ω1出现的可能性是0.5,因为我们已经知道盒子中白球和红球的数量相同,都是5个。


  下面给出概率的定义。


  定义:随机事件A发生可能性大小的度量(数量)称为A发生的概率。记作P(A)对于一个随机事件来说,它发生的可能性大小的度量是由它自身决定的。是客观存在的。就好象是一根木棒有长度,一块土地有面积一样。概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件自身的属性。


  一个根本的问题是:如何找出一个给定的随机事件发生可能性大小的度量----概率?


  在试验2中,因为知道了盒子中的白球数等于红球数,都是5个,才推定P(ω1)=0.5。如果不知道盒子中的白球数和红球的数量呢?实践告诉我们,若反复多次地从盒子中取球(取后放回),随着试验次数的增大,比值n白/n会稳定在1/2附近。


  称比值n白/n为事件ω1在n次试验中出现的频率。


  频率当然在一定程度上反映了ω1发生的可能性的大小。尽管每作一串(n次)试验所得的频率 可能各不相同,但是只要n相当大,和P(ω1)会非常"靠近"的。


  因此概率是可以通过频率来"测量"的,或者说频率是概率的一个近似。如前面说的试验2,即使事先不知道盒子中的白球数和红球数,经过反复多次的试验后,如果频率稳定在0.5附近,那么就可以断定盒子中的白球数和红球数相等,进一步得到P(ω1)=0.5类似的试验很多。如蒲丰(Buffon)和皮尔逊(Pearson)曾分别投掷一枚质地均匀对称的硬币,其结果如下表。

 

试验者

次数

出现正面的次数

频率

蒲丰 

4040 

2048

0.5069

皮尔逊 

12700

6019 

0.5016

皮尔逊 

24000

12012 

0.5006

 

  那么,如何看待频率与概率的关系呢?举例来说,给出一要木棒,谁都不怀疑它自身具有"客观的"长度。长度是多少?我们可以用尺或其它手段来测量,无论尺或仪器多么精密,测得的数值多少带有误差,而且每次测量的值可以有差异。但测得的值是稳定在要棒"真实"长度值附近的。事实上,人们也是把测得的值当做是要棒的真实长度(这个类比不仅帮助我们去理解概率与频率之间的关系,而且还揭示了更深刻的事实:概率与长度、面积等变量一样应具有"测度"的性质)。因此在实际应用中,当试验次数足够多时,常用事件A的频率来代替其概率。由频率出发所定义的A的概率常称为统计概率。


  统计概率指出,任一事件A的概率P(A)是存在的。在实际问题中,即使P(A)不知为何值,但可取事件A出现的频率作为它的近似值。这是统计概率的长处。但它也有不足之处。当我们取频率为近似值时,并不能肯定试验的次数该取多少为好,因为我们没有理由认为N+1次试验比N次试验所行的频率更逼近所求的概率。而且当试验次数增多时,很难保证试验的条件完全一样。例如在掷硬币试验中,很难保证每次抛出的角度,高度等等条件都是一样的。


  那么有什么方法来确定事件的概率吗? 

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