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《概率论基础》笔记——随机事件与样本空间

来源: passnju.com   作者:聚英南大考研网  浏览:1002  发布时间:2015/8/17

  我们在前面已经介绍了随机试验,现在再进一步明确其含义。


  一个试验如果满足下述条件:


  (1) 试验可以在相同条件下重复进行


  (2) 试验的所有结果是明确知道的,并且不止一个(3) 每次试验总是出现一个可能的结果,但在一次试验之前却不能确定会出现哪一个结果则称这样的试验是一个随机试验。简称试验。


  随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件(样本点)。它们的全体称作样本空间。用Ω表示。Ω中的点(基本事件或称样本点)常用ω表示。


  例如,


  在前面的试验2中:ω1={取得白球},ω2={取得红球},则Ω={ω1、ω2}


  测量某地水温,令t={测得的水温猼℃},则Ω={1,2,…100}


  一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1,2,…,10,从中任取一球。令i={取得的球的号码为i},则Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}


  在随机试验中,有时我们更加关心带有某些特征的事件是否发生。(比如在购买彩票时,是否中奖,是否摸出红球等等)在随机试验中,我们可以研究A={球的号码为6}


  B={球的号码为偶数}


  C={球的号码小于等于5}


  这些事件是否发生。其中A是一个基本事件,而B和C都是由多个基本事件组成的,称为复杂事件。无论是基本事件,还是复杂事件都叫随机事件。简称事件。


  习惯上用大定字母A,B,C,…表示事件。


  在试验中,若出现A中包含的基本事件ω,则称作A发生。并记作ω?AΩ表示全体基本事件,而随机事件是由具有某些特征的基本事件所组成,所以从集合论的观点看,一个随机事件不过是样本空间中的一个子集。


  Ω是由所有基本事件组成的。因而在任一次试验中,必然要出现Ω中的一个基本事件ω,即ω?A,也就是说在试验中Ω必然会发生。所以用Ω表示一个必然事件。另外,Φ用来表示不可能事件。


  事件的关系与运算:


  1. 如果事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含A。记作A1.pngB

 

  2. 如果有A1.pngB和B1.pngA同时成立,则称事件A与事件B相等。记作A=B

 

  3. "事件A与事件B中至少有一个发生"这样的事件称作事件A与事件B的和(并)。记作A+B

 

  4. "事件A与事件B同时发生"这样的事件称作事件A与事件B的积(交)。记作AB

 

  5. "事件A发生而B不发生"这样的事件称为A与B的差。记作A-B

 

  6. 若事件A、B不能同时发生,即AB=Φ,则称A与B是互不相容事件(互斥事件)

 

  7. 若A是一事件,令2.png=Ω-A,则称2.png是A的对立事件(逆事件)。即A与2.png中必有一个发生,但不会同时发生。


  例:设A、B、C是Ω中的随机事件。则


  事件"A与B发生,C不发生"可表示为:


  事件"三个事件中到少有两个发生"可表示为:AB+BC+CA事件"三个事件中恰好有二个发生"可表示为:


  事件"三个事件中有不多于一个事件发生“"可表示为:3.png

 

    事件"三个事件中到少有两个发生"可表示为:AB+BC+CA


 

    事件"三个事件中恰好有二个发生"可表示为:4.png

    事件"三个事件中有不多于一个事件发生“"可表示为:5.png


  应注意的是其表示方法并不唯一!


  运算规律:


  交换律 A+B=B+A AB=BA


  结合律 A+(B+C)=(A+B)+C (AB)C=A(BC)


  分配律 (A+B)C=AC+BC


  例:袋中有十个完全相同的球,分别标以1到10的号码,从中任取一球,设A={取得球的号码是偶数}


  B= {取得球的号码是奇数}


  C= {取得球的号码小于5}


  问下述运算分别表示什么事件:


  (1) A+B 必然事件(取得的球的号码是偶数或是奇数)

 

    (2) AB 不可能事件(取得的球的号码既是偶数以是奇数)

 

    (3) AC 取得的球的号码为2或4

 

    (4) 1.png取得的球的号码为5或7或9

 

    (5) 2.png取得的球的号码为6或8或10


  

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